Matematik: Opstil integralet og find volumen
Hej eksperter..Jeg er rendt ind i en geometriopgave, jeg ikke magter at løse, og det piner mig!
http://gyazo.com/5b275bfc992f00d3487a0b7ff55d6dda
Forestil jer en kugle, der ikke er massiv. Altså en kugleskal... Den består af de to hvide cirkler, der ligger indenfor den røde cirkel.
Nu skal jeg laserskære i denne skal. Jeg skærer med den lodrette hvide streg, der kommer ned fra toppen. Der er en masse hjælpestreger i toppen, I kan se bort fra. Der skæres kun med den midterste hvide linje (strålen er uendeligt tynd).
Laseren står fast, og kuglens afstand til laseren er fast. Det vil sige, jeg kan kun dreje kuglen om de to resterende akser. Altså skærer man ned på en kugleskal, der ligger og drejer om dens eget center.
Jeg skærer så et hul med en eller anden diameter. Og fordi kuglen kun kan dreje om center, og afstanden er fast, bliver det stykke, man skærer fri en lidt sjov form. Når kuglen bevæger sig, bliver det de røde streger, der afgrænser det hul, der skæres. Så det stykke, der til sidst falder ud er afgrænset af kugleskallens top og bund samt de to røde linjer.
Jeg skal nu finde volumenet af denne stump. Dette gøres ved hjælp af formlen for V:
http://gyazo.com/9df3d840c53ca2003cbb9d0ea6943921
Så det vil sige, jeg finder rumfanget af den store og rumfanget af den lille og BUM... forskellen = resultatet..
Nu kommer krøllen: Jeg skærer ikke i en kugle men i en cylinder. Det vil sige, samme tegning, men der går nu et rør ind i "papiret". Så røret drejer om centeraksen og forskydes i længderetningen.
http://gyazo.com/2c688b3be8e0477d543a441768d09592
Så det vil sige, toppen af kugleudsnittet har nu ikke længere kun maksimum i ét punkt men i en linje.
Hvad er volumenet nu af stumpen?
Som jeg ser det, er der to muligheder:
1) Opstil integralet for det, som giver volumenet af kegleudsnittet af en cylinder, og så lave samme trick med den store minus den lille.
2) Tegn det i 3D CAD og bed den regne det ud.
Da jeg ønsker at løse problemet analytisk, er 2) ikke en mulighed.
Jeg skal have hjælp til at opstille integralet. Det er meget, meget langt væk i min matematiske hukommelse, hvordan jeg skal gribe dette an :-)
Hvis det er nemmere med fortegnsskift og alt det pjat, kan I nøjes med at kigge på en kvart konus, da den er symmetrisk i fire kvarte.
